daily@May

公理化运动

概述

公理化(a·xi·o·ma·ti·’za·tion)方法。以欧几里得为榜样，在很多世纪被当作单一方法或者一致的过程来讨论，于是在此传统的 方法中，公理被假设为不言自明的所以无可争辩。

随着非欧几何的发展、实分析的基础、康托的集合论和弗雷格在数学基础方面的工作，以及希尔伯特的公理方法作为研究工具的“新”用途（i.e., 群论在19世纪末第一个放到了公理化的基础上。一旦公理被明确地提出，eg.逆元必须存在，该课题就可以自主的进展，无须参考这类研究的起源—变换群）。

换言之，19世纪单一的、欧几里得式的公理化方法发生转向。于是 当今数学及其影响领域中，至少有3种模式的公理化方法，调皮地说可能的态度有：

• 接受 我的公理，然后 你就必须承认他们它们的推论
• 拒绝 我的公理之一 并且，采纳 另外的模型
• 我的公理集 定义了 一个研究领域

第一种情况是经典的演绎方法。第二种采用了博学点，一般化这个口号；他和假设 概念 可以和 应该用某种内在的自然广泛性 来表达的假设是一致的。第三种成为20世纪显学，espc. 同调代数的课题中。

很显然公理化方法在数学之外是有局限性的。i.e.，在政治哲学中，导致不可接受的结论的公理很可能被彻底拒绝；所以没有人真的认同上面的第一个版本。

作为一个例子，戴德金分割认为有理数的全体分割构成实数，对有理数进行分割,每一个分割对应一个实数，即实数是完备的(连续的)。这个定义可以用于证明说明0.999…=1。本质在公理化层面解答了：什么是实数的问题。

无理数@19,20AD

数学危机I，边长为1的正方形斜边无法表示。

画图和比喻转向构造的世界：戴德金分割、集合语言进入代数结构成为数学对象的容器

无穷小量@17,19AD

数学危机II&III，牛顿和莱布尼茨对无穷小量未定义。

模糊的无穷小

ε–δ

i.e. ε–δ

形式主义的 顶点与崩溃@20AD

Cantor (集合论雏形)
   ↓
Russell (悖论)
   ↓
Hilbert (1900) → 形式主义计划
   ↓
Russell (1910) → 逻辑主义构造《数学原理》
   ↓
Gödel (1931) → 不完全性定理打破计划

大数定理 中心极限定理

• 大数定理(Law of Large Number,LLN): 对于一系列随机变量{Xn},设每个随机变量都有期望、iid、var有界，当n足够大，这些随机变量均值和其期望之间距离将趋近于0。
• 中心极限定理（Center Limit Theorem, CLT）：对于一系列随机变量{Xn}，在一定条件下，当n足够大，这些随机变量的均值近似服从正态分布。

Term	中文	含义与传统用法
Law	定律	指的是一种“普遍经验规律”，通常有强烈的直觉背景，经反复观察、归纳而来。定律强调“现象层面”的稳定性。
Theorem	定理	指的是在某个数学系统内，根据公理、定义、先前结论严格逻辑推导出来的命题。

对比点	LLN（大数定律）	CLT（中心极限定理）
名称使用	Law	Theorem
背景	最初来自赌博经验、长期平均趋于稳定的直觉观察	是更高阶、更技术的分析定理，严密来源于概率密度逼近
表达的现象	均值趋于期望（一致性）	均值分布趋于正态分布（逼近形状）
核心关注	强调“长期趋势”	强调“短期波动形状”
本质类型	概率的“稳定律”	分布的“逼近定理”

大数定理

CLT

LLN