五三@
关于应试和数学历史。
高中
xhs
高一上
adhoc
1.集合与逻辑
集合与元素
集合运算
命题: 可判断真假
命题操作: 否定
命题: 充分条件与必要条件
命题与集合: 充分条件与必要条件
反证法: 命题与逆否命题
[补]:经典命题的真值
2.等式与不等式
一元二次方程解集
一元一次不等式
一元二次不等式解集
基本不等式
*梅氏定理@wikipedia
梅涅劳斯定理（Menelaus’ theorem）最早出现在古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面三角学》，定理的平面版本被用作证明该定理的球形版本的引理。对于初中数学来说，属于平行线段成比例问题的高层次抽象模型，模型范围覆盖三角形被直线所截类问题。与塞瓦定理的等式在条件上有所不同，二者互为对偶定理。
正定理
它指出：如果一直线与△ABC的边BC、CA、AB或其延长线分别交于L、M、N，则有：
正定理 ∎
case-1:直线LNM穿过三角形ABC 
case-2:直线LNM在三角形ABC外面(M与N位置可能有错)
逆定理(也成立，可用于证明三点共线)
若有三点L、M、N分别在△ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足：
逆定理
则L、M、N三点共线。 ∎
证明
@平行线
基础case证明 
推广case证明
@面积法SHM
case-1:直线LNM穿过三角形ABC
如情况一，连接AL、CN有：
SHM ∎
@正弦定理
case-1:直线LNM穿过三角形ABC
如情况一，设∠ANM=α，∠AMN=β，∠MLC=γ，则在△AMN中由正弦定理，有：
正弦定理 ∎
*塞瓦定理@wikipedia
塞瓦定理（Ceva’s theorem）最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦（Giovanni Ceva，1647年12月7日—1734年6月15日）证明，另外，他重新发现了梅氏定理。
塞瓦线、塞瓦线段，指各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的线段。
正定理
case1-三条线段的交点O 位于三角形ABC的内部 
case2-三条线段的交点O 位于三角形ABC的外部
塞瓦定理指出：如果△ABC的塞瓦先线段AD、BE、CF交于一点O，则：
塞瓦定理 ∎
逆定理（同样成立，可用于证明三线共点）
它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在△ABC或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足：
塞瓦逆定理
则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（于无限远处共点）。当AD、BE、CF中任两条直线交于一点，则三直线共点；当AD、BE、CF中任两条直线平行，则三直线彼此平行。∎
证明
case1-三条线段的交点O 位于三角形ABC的内部
证明 ∎
对偶定理的讨论
塞瓦定理讲的是三条线交于一点，梅涅劳斯定理讲的是三点共线。而这两种情况在几何学里是经典的对偶关系：
- 一点可以看作是多条线的“汇聚”（共点）。
- 一条线可以看作是多点的“轨迹”（共线）。
它们“交换了”点和线的角色。